我是在初二的时候离开中国大陆，那时候我没有学习到向量、线性代数、微积分相关的知识，别的地区的12年教育中所包含的基础数学教育并没有包括这些较为进阶的数学内容，顶多介绍了函数和变量，以及三角函数。我相信很多人也有相似的经历，特别是在中国大陆内经历过小学与初中教育后，脱离了整个大陆教育体系的人。所以以下记载了我不完备的学习笔记，或许能对你有一些帮助。如果有什么感到疑惑的地方，请直接咨询对此方面了解的朋友，因为我也只是一个正在努力弄明白相关概念和答题方法的学习者，我的观点并不能构成任何有效意见。
1. 向量与矩阵
矢量即为向量，在物理意义上表示一个方向上的力，在坐标系中一般使用带箭头的线段表示向量。仅使用矩阵理解的话，向量是一个由至少两个值构成的，仅有一列的矩阵。而矩阵可以看做一组向量组合，或是一个表格。
在坐标系中，向量被定义为由原点出发的一个箭头。
一般，一个向量使用两个数字表示。î表示横轴上的一个单位向量，ĵ表示竖轴上的一个单位向量。
$$ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \right] $$
以上表示横轴为1，竖轴为4的向量。也可以记作：
$$ 1î+4ĵ $$
向量的加法为两个向量在物理上的合力，或是数学上的连续运动（第一个向量运动完了之后，进行第二个向量的运动）。加法可以用以下公式表达。
$$ \left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a+c \\ b+d \end{matrix} \right] $$
矩阵可以看做一个向量组合。
$$ \left[ \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right] $$
一个向量空间的线性变换，可以表示为一个矩阵。在以上公式中，左边第一列表示î的变换方向与模，而第二列表示ĵ的变换角度与模。这个变换同时包括了对模的缩放，以及对角度的变换，即为缩放与旋转。
对于一个向量，想要知道根据某个矩阵变换后的向量值，只需要将î乘以第一列，将ĵ乘以第二列即可得出变换后的值。这也被定义为矩阵的乘法。
$$ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} e \\ f \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} ae \\ ce \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} bf \\ df \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} ae+bf \\ ce+df \end{matrix} \right] $$
复合变换为两个或者以上的变换叠加，上面已经描述了变换可以表示为一个矩阵乘以某一个需要变换的值，而复合变换则为一个矩阵乘上另一个矩阵。
我们已知以上的乘法公式，若将左右的变换矩阵当做î与ĵ各自的向量值，我们可以实现矩阵乘法。
$$ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} ae & af \\ ce & cf \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} bg & bh\\ dg & dh \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{matrix} \right] $$
2.行列式
行列式在几何意义上，是用于表示一个单位面积在矩阵变换后为多少面积的一个表达式。
在线性代数的向量空间中，网格线保持平行且等距分布，所以变换后的任意面积变化都可以使用行列式计算得出。
行列式一般写作以下形式：
$$ det\left( \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right] \right)=6 $$
负数的行列式表示坐标系翻转后的面积。行列式的计算公式如下：
$$ det\left( \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \right)=ad-bc $$
在三维空间中，行列式关注的是一个立方体的体积。规则与二维行列式相似。
对于三维的行列式计算，公式如下：
$$ det\left( \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right] \right)=a·det\left( \left[ \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} \right] \right)- b·det\left( \left[ \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} \right] \right)+ c·det\left( \left[ \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} \right] \right) $$
两个矩阵相乘后，结果矩阵的行列式等于两个行列式的乘积，即为：
$$ det(M1M2)=det(M1)det(M2) $$
3. 矩阵的具体用途，矩阵方程、逆矩阵、列空间与零空间
基础向量方程
一般线性的三元方程一般如下
$$ 2x+5y+3z=-3\\ 4x+0y+8z=0\\ 1x+3y+0z=2\\ $$
我们可以将其转换为矩阵方程：
$$ \left[ \begin{matrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 0 & 8 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] $$
左边的系数矩阵为A，中间的未知向量为x，右边的向量为v（x与v均为向量）。
向量方程的意义在于寻找一个几何上的解，本质上，以上的方程是将变换后的向量还原为变换前的向量。
基础逆矩阵
逆变换指的是将某个矩阵进行逆变换操作，这通常记作以下标识：
$$ \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right]^{-1} $$
此矩阵的意义在于将变换后的矩阵变换回未变换前的样子，每一个矩阵均可逆变换，求得为逆矩阵。根据此规则，设A为一矩阵，可以求得以下方程：
$$ A^{-1}A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] $$
根据以上规则（右侧矩阵即为î与ĵ不变），解答矩阵方程时，我们可以在左右各乘以一个逆矩阵，这样便可以消掉部分未知量或是移项，在定义了逆矩阵后，这个规则与一般的方程基本无异。
$$ A\vec x=\vec v \\ A^{-1}A\vec x=A^{-1}\vec v\\ \vec x=A^{-1}\vec v $$
需要注意的是，若矩阵与向量不共线，逆矩阵仅存在于行列式不为零的矩阵中，行列式为0的话变换后的向量已经遗失了一个维度的信息，不存在可以还原回原本向量的逆矩阵。
行列式在当前空间中为0的时候并不说明他在自己的列空间中仍为0，例如在三维空间中矩阵的列空间为二维空间，则不在于二维空间上的向量不存在解；同理，在无论三维还是二位的向量空间中的一维列空间，若向量不在此条线段内则不存在解。
另一方面，我们可以得知，0向量在任意列空间中都可以求解，构成0向量的空间也称为零空间，也可以称为核。此为所有可能解的集合。